La première grande découverte dans l’histoire des mathématiques fut celle de l’infini. Ce furent les Grecs qui découvrirent cette chose étrange, à savoir qu’un calcul peut ne pas avoir de fin. Cette construction infinie, ils la nommèrent APEIRON . Archimède , par une suite infinie de polygones inscrits et circonscrits à un cercle, démontra l’irrationalité du nombre « PI » .

Pythagore, par le calcul de l’hypothénuse d’un triangle rectangle de côté un, découvrit un autre nombre irrationnel : « racine de deux ».

Il fallut attendre l’époque moderne et que le savoir mathématique des Grecs fut transmis à l’Occident par des moines copistes romains byzantins pour que le concept d’infini refasse surface. [1]

La question du statut de l’infini, de sa réalité tangible éventuellement autre que sa réalité mathématique, apparut dès que le concept d’ensemble puis d’ensemble de nombres germa dans l’esprit des mathématiciens contemporains. Un ensemble de nombres entiers naturels, qui est infini, possède-t-il un élément un élément qui est l’infini lui-même et obligerait l’ensemble à s’appartenir?

Cantor va différentier l’infini en deux concepts distincts : l’infini potentiel, celui de

l’algorithme des Grecs qui tend vers une valeur sans jamais l’atteindre et l’infini actuel, celui de la quantité des nombres entiers naturels @ 0, cardinal infini que l’on ne peut pas dépasser.

Skolem, en développant la théorie des modèles, montrera qu’un modèle non standard de l’arithmétique possède un élément plus grand que l’infini, auquel les mathématiciens qui lui succéderont donneront le nom d’hypernaturel. Robinson développera lui un modèle non standard de l’analyse et donnera le nom d’hyperréel à toute quantité divisée par un nombre hypernaturel.

Références

[1] Sylvain Gougenheim, Aristote au Mont-Saint-Michel, Seuil, Collection L’Univers Historique, 2008

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